I'll be having a rest while he'll be preparing for this exam. Де помилка?

Помилка в другій частині речення.

❌ I'll be having a rest while he'll be preparing for this exam.

Після while (так само як після when, before, after, as soon as, until), коли йдеться про майбутнє, не вживається will.

Правильно:

✅ I'll be having a rest while he's preparing for this exam.

або

✅ I'll be having a rest while he is preparing for this exam.

Чому?

Після while використовується Present Continuous, якщо дві дії відбуватимуться одночасно в майбутньому:

I'll be working while she's sleeping.

I'll be reading while they're watching TV.

I'll be having a rest while he's preparing for this exam.

Якщо ж ви хочете підкреслити дві майбутні тривалі дії, то Future Continuous залишається тільки в головному реченні:

❌ I'll be having a rest while he'll be preparing...

✅ I'll be having a rest while he's preparing...

Ваше виправлене речення звучить цілком природно:

I'll be having a rest while he's preparing for this exam.