I'll try to do my best to cope with all these difficulties чи I'll be trying to do my best to cope with all these difficulties

Обидва речення граматично правильні, але я рекомендую перше:

✅ I'll try to do my best to cope with all these difficulties. - Я постараюся зробити все можливе, щоб впоратися з усіма цими труднощами.

1. I'll try... — Future Simple

I'll try to do my best...

Ви говорите про намір / обіцянку / рішення на майбутнє: Я постараюся...

Логіка проста: зараз кажу → у майбутньому постараюся

Наприклад:

I'll try to help you. - Я постараюся тобі допомогти.

I'll try to finish it tomorrow. - Я постараюся закінчити це завтра.

Тому у вашому реченні I'll try звучить природно.

2. I'll be trying... — Future Continuous

I'll be trying to do my best to cope with all these difficulties. - Я намагатимуся робити все можливе, щоб упоратися з усіма цими труднощами.

Тут акцент на тривалому процесі намагання в майбутньому.

Наприклад:

Over the next few months, I'll be trying to cope with all these difficulties. → Протягом наступних кількох місяців я намагатимуся впоратися з усіма цими труднощами.

Тобто:

TRYING ━━━━━━━━━━━━━━━━━▶

Ми ніби дивимося на процес, який триватиме певний період.

Порівняння

I'll try... Я постараюся — намір

I'll be trying... Я намагатимуся — тривалий процес у майбутньому

У вашому реченні без додаткового контексту:

I'll try to do my best to cope with all these difficulties. ✅

звучить набагато природніше.

Є ще один нюанс: try to do my best трохи надлишкове за змістом, адже do my best уже означає «докласти максимум зусиль». Ще природніше:

I'll do my best to cope with all these difficulties. ✅ - Я зроблю все можливе, щоб упоратися з усіма цими труднощами.

Або:

I'll try to cope with all these difficulties. ✅ - Я постараюся впоратися з усіма цими труднощами.